11.2. Классический метод

Теория  /  11.2. Классический метод

Рассмотрим общий порядок расчета переходных процессов классическим методом. Известными величинами считаются ЭДС или напряжения источников и  номиналы входящих в схему сопротивлений, индуктивностей, емкостей; неизвестными – токи и напряжения.

Для независимых переменных составляются дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа.

Независимыми переменными являются величины, которые не могут изменяться скачком: ток индуктивности и напряжение на емкости.

Если нам необходимо найти ток в некоторой к-й ветви, то исключим последовательно все остальные токи, останется одно уравнение для к-го тока и его производных:

В общем виде это уравнение можно записать

Правая часть f_k(t) содержит в себе источники энергии.

Решение этого дифференциального уравнения ищем в виде суммы частного и общего решений.

Частное решение представляет собой  значение тока в  послекоммутационном установившемся режиме. Этот ток зависит только от источников f_k(t) и называется принужденной составляющей. Для определения принужденной составляющей применяются любые методы расчета электрических цепей в послекоммутационном установившемся режиме.

Общее решение по физической сути определяет электромагнитные процессы, происходящие в электрической цепи при отсутствии источников энергии. Если в цепи в момент коммутации имелись запасы электромагнитной энергии, то в отсутствие источников эта энергия не будет пополняться, но будет рассеиваться на резистивных элементах. Поэтому токи и напряжения в конечном итоге при t = ∞ будут стремиться к нулю. Эти составляющие по своему характеру не зависят от внешних источников и называются свободными составляющими.

Свободная составляющая к-го тока определяется решением дифференциального уравнения этого тока при нулевых источниках:

Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение, заменяя символ дифференцирования параметром р:

Характеристическое уравнение будет иметь следующий вид:

Решая это уравнение, находим корни характеристического уравнения р₁, р₂,…, р_п.

Решение для свободной составляющей тока ищем в виде

Здесь  постоянные интегрирования, которые определяются с использованием законов коммутации и независимых начальных условий.

Независимыми начальными условиями называют значения независимых переменных в первый момент после коммутации t = 0.