Теория / 11.6. Включение RLC элементов на постоянное напряжение
Пусть
на входе цепи (рис. 11.10) действует постоянное напряжение U.
Запишем
уравнение состояния цепи
Будем выполнять расчеты для напряжения емкости. Учтем,
что емкостный ток можно определить по формуле
Подставим ток в дифференциальное уравнение, учитывая
то, что ток через все элементы протекает один и тот же
Решение ищем в виде суммы свободной и принужденной
составляющих.
Находим принужденную составляющую.
Поскольку сопротивление емкости постоянному току
бесконечно велико, то принужденная составляющая тока будет равна нулю iпр = 0.
Падение напряжения на резистивном элементе также будет равно нулю, а
индуктивность представляет собой короткое замыкание для постоянного тока, то
есть UL = 0, следовательно, все напряжение источника в
установившемся режиме будет приложено к емкости иСпр
= U.
Для определения свободной составляющей составляем
характеристическое уравнение, приравнивая нулю источники и заменяя символ
дифференцирования оператором р
Находим корни уравнения
Рассмотрим решение для двух случаев корней.
1. Апериодический
процесс
Решение для свободной составляющей ищем в виде
тогда 
Для определения постоянных интегрирования записываем
первую производную от напряжения
Находим в начальный момент переходного процесса t = 0 значения напряжения на емкости uC(0) и его производной
По второму закону коммутации 
следовательно,
uC(0) = 0.
Первую производную находим из выражения для тока
По первому закону коммутации i(0+)
= i(0-) = 0. Так как С ≠ 0, то нулю равна
производная
Запишем уравнения для напряжения и его производной при
t = 0
Из первого уравнения находим
Подставляем во второе уравнение
Отсюда получаем:
Запишем окончательное решение для напряжения
График переходного процесса для напряжения с учетом того, что
показан на рис. 11.12.
Найдем выражение для тока. Для этого необходимо
продифференцировать выражение для напряжения
График переходного процесса для тока показан на рис. 11.13.
2. Колебательный процесс
В этом случае корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженные
Постоянные времени переходного процесса определятся выражением
Принужденные составляющие тока и напряжения имеют те же значения, что и в предыдущем случае
Начальные условия:
Поскольку корни комплексно-сопряженные, решение для свободной составляющей ищем в виде
Запишем уравнения для напряжения и его производной:
Используя начальные условия, получаем
Из первого уравнения находим
Подставляем во второе
Отсюда
Запишем решение для напряжения
График переходного процесса будет иметь вид (рис. 11.14).
Найдем ток в цепи
Приведем это выражение к привычному виду. Умножим и разделим выражение в скобках на
Учтем, что
Рассмотрим выражение для корней характеристического
уравнения
Здесь
Тогда
отсюда
где ω0 – резонансная частота.
С учетом этого выражение для тока запишется
По правилам тригонометрических преобразований
Если принять, что
Окончательно получим
Если учесть, что
то выражение для тока можно записать в виде
График изменения тока показан на рис. 11.15.
Таким образом, переходной процесс будет затухающим. Скорость затухания характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух соседних амплитуд
Логарифмический декремент колебаний определится выражением:
