Теория / 12.2. Разложение симметричных периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье
Довольно часто периодические несинусоидальные функции обладают
каким-либо видом симметрии. Использование этого свойства функций позволяет
упростить разложение в ряд Фурье, поскольку вследствие симметрии некоторые
гармоники могут оказаться равными нулю. Рассмотрим несколько случаев симметрии.
1. Функция f(ωt) симметрична относительно
оси ординат (рис. 12.2). При этом f(ωt)=f(–ωt). Такую симметрию имеет, например, ток в нагрузке однополупериодного
выпрямителя.
Функции, симметричные относительно оси ординат,
являются четными. Поскольку синусоида – функция нечетная, то синусные составляющие
не будут входить в состав ряда. Таким образом, ряд Фурье для данного сигнала
будет содержать только постоянную составляющую и косинусные составляющие гармоник.
2. Функция f(ωt) симметрична относительно начала координат. Пример такой функции показан на рис. 12.3. При этом f(ωt) = – f(– ωt).
Такие функции являются нечетными. Поскольку условиям
нечетности не удовлетворяют косинусы, то ряд Фурье для такой функции не будет
содержать косинусных составляющих гармоник.
Как видно из графика, постоянная составляющая, равная
среднему значению функции за период, равна нулю.
Следовательно, для функций, симметричных относительно
начала координат, ряд Фурье будет содержать только синусные составляющие.
3. Функция, симметричная относительно оси абсцисс при
смещении двух полупериодов во времени f(ωt) = – f(ωt+π) (рис. 12.4).
Такую форму, например, имеет кривая тока в катушке с
ферромагнитным сердечником при синусоидальном напряжении.
Воспользуемся полной записью ряда Фурье
Функция f(ωt+π)
отличается от f(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный
знак
Это равенство справедливо при любом значении ωt только в том случае, если 
Таким образом, для кривых, симметричных относительно
оси абсцисс со сдвигом на полпериода, ряд Фурье не содержит постоянной
составляющей и четных гармоник:
