Теория / 13.1. Спектральный анализ непериодических сигналов
Для анализа электрических цепей, в которых действуют
непериодические сигналы, используют спектральные представления, базирующиеся на
паре преобразований Фурье, которые могут быть получены путем предельного
перехода от ряда Фурье в комплексной форме.
Пусть имеется некоторый непериодический сигнал f(t), удовлетворяющий
условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах
С физической точки зрения это означает, что задается
реализуемый сигнал с конечной энергией, при этом
то
есть модуль сигнала f(t) имеет ограниченный показатель роста.
Мысленно превратим этот сигнал в периодический путем
его повторения через определенный промежуток времени, который будем считать периодом
Т (рис. 13.1).
К полученному таким образом сигналу можно применить
разложение Фурье в комплексной форме
где
обозначили:
Подставим 
в предыдущее уравнение
Перейдем в этом выражении к пределу, учитывая, что при
Т→∞ ;
Внутренний интеграл
называется
спектром сигнала.
С учетом спектра сигнала исходный сигнал можно
записать
Уравнение (13.1) называют прямым преобразованием
Фурье; уравнение (13.2) – обратным преобразованием Фурье.
Поскольку спектр сигнала F(jω) – комплексная функция частоты, то он может быть
записан в алгебраической и показательной формах:
где
Здесь
Между спектрами периодического и непериодического
сигналов существует следующая связь:
В отличие от линейчатого спектра периодических
сигналов, спектр непериодических сигналов носит сплошной характер (разница
соседних частот равна dω).
Сигналы f(t) и спектры F(jω) обладают
рядом свойств:
1) свойство линейности
где
аk – коэффициенты разложения;
2) дифференцирование сигнала
соответствует умножению его спектра на величину jω:
3) интегрирование сигнала соответствует
делению его спектра на jω:
4) смещение сигнала во времени на величину τ :
5) умножение спектров (теорема свертки):
6) изменение масштаба независимого переменного:
Из всего вышеизложенного в данной главе следует, что периодический несинусоидальный и непериодический сигналы могут быть представлены суперпозицией гармонических составляющих.