14.1. Схема замещения и уравнения линии с распределенными параметрами

Теория  /  14.1. Схема замещения и уравнения линии с распределенными параметрами

До сих пор мы рассматривали электрические цепи, в которых параметры цепи – сопротивление, проводимость, индуктивность, емкость – были сосредоточены на отдельных участках цепи. Такие цепи называются цепями с сосредоточенными параметрами.

Однако, в некоторых случаях такие допущения неприемлемы, и при анализе цепей необходимо рассматривать распределение этих параметров вдоль всей линии. Такая необходимость возникает в длинных линиях.

Линии, физическая длина которых может быть соизмерима с длиной волны, передаваемого вдоль линии сигнала, называются длинными линиями. Длинная линия – это понятие относительное. Длина волны определяется отношением фазовой скорости к частоте:

Фазовая скорость близка к скорости света v_ф ≈ 3·10⁸ м/с, поэтому при частоте f = 50 Гц длина волны составит примерно 6000 км. То есть для такой частоты длинные линии будут иметь протяженность десятки и сотни километров. Если частота сигнала составляет 3·10¹⁰ Гц, то длина волны будет равна 1 см, и длинной линией для такого сигнала будет линия длиной несколько сантиметров.

Электрическими цепями с распределенными параметрами называют цепи, в которых сопротивление, индуктивность, проводимость, емкость распределены вдоль линии, Если эти параметры распределены равномерно, то линия называется однородной.

В цепях с распределенными параметрами ток и напряжение непрерывно меняются при переходе от одной точке к другой. Если в цепях с сосредоточенными параметрами ток и напряжение являлись функциями только одной переменной – времени, то в цепях с распределенными параметрами ток и напряжение являются функциями двух независимых переменных – времени t и координаты х, отсчитываемой вдоль направления распределения параметров.

Примерами цепей с распределенными параметрами являются линии электропередач, высокочастотные коаксиальные линии радиотехнических и телевизионных устройств, кроме того, в качестве цепей с распределенными параметрами можно рассматривать обмотки трансформаторов и электрических машин при воздействии на них импульсных токов и напряжений.

Схему замещения линии электропередач с распределенными параметрами можно представить в виде совокупности бесконечно малых участков длиной dx, где х – расстояние от начала линии (рис.14.1).

Первичными параметрами линии являются R₀, L₀, G₀, С_0. Эти параметры обусловлены конструктивными особенностями линии.

Здесь R₀ и L₀ – продольные параметры.

R₀ – активное сопротивление, обусловленное тепловыми потерями в проводах и поверхностными эффектами.

L₀ – индуктивность цепи, определяемая магнитным потоком, который сцепляется с контуром тока, образуемым токоведущими проводами.

G₀ и С₀ – поперечные параметры линии.

G₀ – поперечная проводимость или проводимость утечки, вызванная несовершенством изоляции проводов, причем в данном случае G₀ ≠ R₀, так как эти параметры обусловлены различными причинами и не связаны друг с другом.

С₀ – емкость цепи, обусловленная емкостью между проводами, емкостью проводов по отношению к земле.

Индекс «0» указывает на то, что параметры приходятся на единицу длины линии (погонные параметры).

Линия с распределенными параметрами  является однородной, если  продольные и  поперечные  параметры всех элементарных участков линии одинаковой длины равны.

Параметры R₀, L₀, G₀, C₀  называются основными или первичными параметрами линии с распределенными параметрами. Вторичными или характеристическими параметрами линии являются: волновое сопротивление Z_В, коэффициент распространения γ, коэффициент затухания α, коэффициент фазы β.  

Будем отсчитывать координату х от начала линии. Величина тока в проводах линии будет зависеть не только от времени, но и от координаты, поскольку на каждом  участке dx  ток ответвляется от одного провода к другому в виде тока смещения

и тока проводимости

Поэтому если ток в точке х равен i, то в точке х+dx он уже будет равен

Уравнение для приращения тока на элементе длины dx запишется в следующем виде:

Отсюда

Также и напряжение между проводами зависит не только от времени, но и от координаты, поскольку на каждом участке dx происходит падение напряжения на сопротивлении пары проводов

и на индуктивности

В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение для напряжения  можно записать в следующем виде:

Отсюда

Уравнения  (14.1) и (14.2) называются телеграфными уравнениями.