3.2.2. Метод контурных токов

Теория  /  3.2. Методы расчета сложных электрических цепей  /  3.2.2. Метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет уменьшить число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа до числа независимых контуров.

Метод контурных токов основан на том свойстве, что ток в каждой ветви может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 3.4), аналогичную той, что рассматривали в предыдущем случае.

Определим число независимых контуров:

Считаем, что в каждом контуре протекает свой, независимый от других контуров, ток. Направление контурных токов обозначаем круговой стрелкой. Выберем направление контурных токов по часовой стрелке и запишем для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа с использованием контурных токов, считая положительным направлением для каждого контура направление контурного тока:

Эту систему уравнений можно привести к следующему виду:

При расчете цепей методом контурных токов удобнее пользоваться готовой математической моделью, которая представляет собой систему линейных алгебраических уравнений:

Здесь R₁₁,  R₂₂,  R₃₃ – собственные сопротивления контуров, равные сумме всех сопротивлений, входящих в контур:

Все остальные сопротивления являются взаимными:

R₁₂  =  R₂₁ = R₂ – взаимное  сопротивление  между  первым  и  вторым  контурами;

R₂₃   = R₃₂  = R₄ – взаимное  сопротивление  между  вторым  и  третьим контурами;

R₁₃   = R₃₁ = 0;  –  взаимное  сопротивление  между  первым и  третьим контурами.

Из схемы можно видеть, что первый и третий контуры не имеют общей ветви, а граничат только через узел, поэтому их взаимное сопротивление равно нулю

Е₁₁ = Е₁;   Е₂₂ =  –Е₂;   Е₃₃ = Е₃ +Е₂ – контурные  ЭДС.

Если действие э.д.с. совпадает с направлением контурного тока, то  ЭДС имеет знак «плюс», если не совпадает – «минус».

При использовании математической модели следует направления всех контурных токов выбирать одинаковыми. В этом случае члены, расположенные по главной диагонали и  содержащие собственные сопротивления контуров, будут положительны, а члены, содержащие взаимные сопротивления, – отрицательны.

Если число уравнений больше двух, то систему удобнее решать матричным методом.

Составим главный определитель системы

Частные определители получим, заменяя соответствующие столбцы матриц столбцами свободных членов

Контурные токи находим из выражений:

Для того чтобы определить истинные токи в ветвях, следут пользоваться следующими правилами. Если в ветви протекает только один контурный ток, то истинный ток равен этому контурному току, причем, если условно положительное направление истинного тока совпадает с направлением контурного тока, то ставим знак контурного тока, если не совпадает  – противоположный. Если в ветви протекает два контурных тока, то за положительный принимаем тот, направление которого совпадает с направлением истинного тока. Для заданной схемы истинные токи определятся выражениями:

Достоинством этого метода по отношению к предыдущему является то, что количество уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, уменьшается.

К недостаткам можно отнести  введение в расчеты фиктивных величин – контурных токов, через посредство которых находят истинные токи.