Теория / 3.2. Методы расчета сложных электрических цепей / 3.2.6. Метод эквивалентного генератора
В некоторых случаях при расчете электрической цепи нас
интересуют ток, напряжение, мощность только в какой-либо одной ветви схемы.
Тогда, чтобы упростить задачу и не рассчитывать всю цепь, применяют метод эквивалентного
генератора.
Прежде чем перейти к методу эквивалентного генератора,
докажем теорему о компенсации.
Теорема о компенсации. Любой пассивный элемент электрической цепи можно
заменить активным элементом, величина ЭДС которого равна падению напряжения на
пассивном элементе, а направление противоположно направлению тока в нем.
Докажем эквивалентность такой замены. Рассмотрим для
пимера схемы (рис. 3.9, а,б).
Заменим пассивный элемент R1 источником
ЭДС Е1.
Для схемы а
запишем уравнение по второму закону Кирхгофа
Отсюда выразим ток в виде
Для схемы б
второй закон Кирхгофа запишется в следующей форме:
Ток выразим в виде
При эквивалентной замене ток в сопротивлении R должен
остаться неизменным, а он не изменится только в том случае, если E1=R1*I, что и требовалось доказать.
В любой электрической схеме всегда можно мысленно
выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от ее
структуры, условно изобразить прямоугольником (рис. 3.10).
Например, выделим ветвь с сопротивлением R5, а всю остальную часть заключим в прямоугольник.
Заключенную в прямоугольник часть схемы, которая двумя
выводами подключается к выделенной ветви,
называют двухполюсником.
Чаще всего нас не интересует часть схемы, заключенная в
двухполюснике, и его обозначают прямоугольником с двумя выводами, к которым
присоединяется интересующая нас ветвь (рис. 3.11).
Если внутренняя схема двухполюсника содержит только
пассивные элементы, то такой двухполюсник называется пассивным и в
прямоугольнике ставится буква П, если внутренняя схема двухполюсника содержит
активные элементы, то есть источники ЭДС
или тока, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике ставится
буква А.
Внутреннюю схему двухполюсника всегда можно разбить на
участки, и эти участки, пользуясь теоремой о компенсации, заменить
эквивалентными источниками. Тогда двухполюсник по отношению к выделенной ветви
будет представлять собой некоторый эквивалентный генератор (рис. 3.12).
Тогда ток, протекающий в выделенной ветви, можно
определить, используя формулу
Таким
образом, всякий активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным
генератором с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением Rэк. Для того чтобы токораспределение во внешней цепи не
изменилось, должны соблюдаться следующие требования:
1) ЭДС эквивалентного генератора Еэк
равна напряжению на зажимах ab двухполюсника
при холостом ходе Еэк= Uabxx;
2) внутреннее
сопротивление эквивалентного генератора Rэк
равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно зажимов ab.
Таким образом,
расчет цепи методом эквивалентного генератора сводится к определению параметров
эквивалентного генератора Еэк и Rэк.
Параметры
эквивалентного генератора можно определить двумя способами: экспериментальным и расчетным.
Экспериментальный
способ – это единственный путь определения параметров
эквивалентного генератора, если неизвестна схема соединений двухполюсника. Суть
его сводится к следующему.
1. При разомкнутых
зажимах ab, то есть в режиме холостого хода (R = ∞ и I =
0), измеряют напряжение на зажимах ab Uаbхх.
Согласно требованию 1 Uаbхх = Еэк.
2. При замкнутых
зажимах ab, то есть в режиме короткого
замыкания (R = 0), измеряют ток в
выделенной ветви Iкз (это можно сделать, отсоединив сопротивление R и подключив к зажимам ab амперметр, сопротивление которого мало, поэтому его
можно считать замыкающим проводником).
Ток короткого замыкания связан с ЭДС источника соотношением
отсюда
Расчетный способ применяется тогда, когда известна схема внутренних соединений двухполюсника и параметры входящих в нее сопротивлений и ЭДС. Рассмотрим этот способ на конкретном примере (рис. 3.13).
Выделяем нагрузочную
ветвь с сопротивлением Rн, заключая остальную часть схемы в прямоугольник. Эта
часть схемы представляет собой двухполюсник с зажимами ab.
Мысленно закоротив
источник ЭДС, находим эквивалентное сопротивление
двухполюсника по отношению к зажимам ab, которое согласно требованию 2 равно внутреннему
сопротивлению эквивалентного генератора:
3. Определим ЭДС эквивалентного
генератора Еэк, равную напряжению на зажимах ab при холостом ходе. Для этого отсоединим сопротивление
нагрузки, схема примет вид (рис. 3.14).
Так как ветвь с
сопротивлением R4 разомкнута, ток будет протекать только по контуру R1→ R3 → R2, то есть
Напряжение на
зажимах ab будет равно напряжению на
зажимах cb:
Зная Rэк и Еэк,
находим ток в нагрузке
Нагрузка эквивалентного генератора согласно закону Джоуля – Ленца потребляет мощность, определяемую выражением
В режиме холостого
хода ток равен нулю, следовательно, потребляемая мощность равна нулю. В режиме
короткого замыкания нулю равно сопротивление нагрузки, следовательно, мощность
так же не потребляется Р = 0. Таким
образом, следует предположить, что в нагрузочном режиме с ростом сопротивления
нагрузки мощность сначала увеличивается до некоторого максимального значения, а
потом спадает до нуля (рис. 3.15).
Найдем условие, при
котором нагрузка эквивалентного генератора потребляет максимальную мощность.
Мощность в нагрузке согласно закону Джоуля – Ленца определяется выражением
Ток в нагрузке
Подставим выражение для тока в формулу мощности:
Исследуем это выражение на экстремум. Функция имеет экстремум при условии равенства нулю ее первой производной.
Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:
Преобразуем это выражение следующим образом:
Отсюда получаем
Взяв вторую
производную, можно доказать, что она отрицательна, следовательно, мощность
максимальна при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению эквивалентного
генератора. Такое сопротивление нагрузки Rc называется
согласованным.
Максимальную мощность можно определить по формуле
На рис. 3.15 показано изменение мощности, потребляемой нагрузкой при изменении сопротивления нагрузки от нуля до бесконечности.
