Теория / 4.5. Представление векторов комплексными числами
Метод векторных диаграмм позволяет легко и быстро
складывать токи и напряжения, выраженные синусоидальными функциями, но точность
этого метода, как и любого графического, невелика. Кроме того, метод векторных
диаграмм не позволяет выполнять операции умножения и деления. Поэтому наибольшее
распространение в теории цепей получил метод, основанный на теории комплексных
чисел.
Рассмотрим комплексную плоскость (рис. 4.10).
Положительную часть действительной оси обозначим +1,
мнимой оси +j. В математике мнимую единицу обозначают i, в теории
электрических цепей j, чтобы не путать с обозначением мгновенного значения
тока (i).
Возьмем на комплексной плоскости точку А с координатами а и b. Каждой точке комплексной плоскости можно поставить в
соответствие вектор длиной А,
расположенный под углом ψ к
действительной оси. Поскольку любую синусоидальную величину можно представить
вектором длиной А с углом наклона ψ, то этой синусоидальной величине можно
поставить в соответствие точку на комплексной плоскости.
Комплексное число можно представить в трех формах
записи.
1. Алгебраическая форма позволяет
выразить комплексное число через координаты точки.
2. Тригонометрическая форма. Из треугольника 0Аа видно, что
тогда комплексное число можно записать в виде
3. Показательная форма. Воспользуемся формулой Эйлера, связывающей тригонометрические функции с показательными:
тогда комплексное число можно записать в виде
А – модуль комплексного числа, который
характеризует длину вектора;
ψ – аргумент комплексного числа, который характеризует угол поворота вектора относительно действительной оси.
Комплексные числа можно складывать, вычитать, делить и
умножать. Как правило, сложение и вычитание производятся в алгебраической
форме, а умножение и деление в показательной. Переход от одной формы к другой
осуществляется по следующим правилам.
Если известны координаты точки 
, то модуль комплексного числа А можно найти по теореме Пифагора:
Аргумент находим из треугольника 0Аа:
Поскольку угол ψ может принимать значения от 0 до 360о, то при его определении следует учитывать знаки действительной и мнимой частей:
Переход от показательной формы к алгебраической осуществляется через тригонометрическую форму, то есть выражаем экспоненту по формуле Эйлера и находим
При расчете комплексных чисел следует помнить следующие правила:
Это следует из выражения
Две комплексные величины, имеющие равные модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы, называются комплексно- сопряженными.
Если комплексное число
то сопряженное ему число записывается в виде
В алгебраической форме записи
, сопряженное 
Произведение комплексного и сопряженного чисел равно квадрату модуля комплексного числа:
